Що таке інтегрування

Невизначений інтеграл для функції f — це сукупність усіх первісних цієї функції.

Якщо, задача диференціального числення — знаходження похідної від заданої функції y = f(x), - то задача інтегрального числення протилежна: потрібно визначити функцію, похідна від якої відома. Фундаментальними поняттями інтегрального числення є поняття первісної та невизначеного інтегралу.

Застосування інтегрального числення:

в задачах про обчислення швидкості або прискорення руху тіла;
в задачах про обчислення визначених інтегралів (див. формулу Ньютона-Лейбніца);
при розв'язанні диференціальних рівнянь.

Невизначений інтеграл

Нехай функція F — первісна для f на Х. Невизначеним інтегралом від функції f називається сукупність усіх первісних цієї функції, тобто вираз

де C ∈ J — довільна стала.

Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, C — сталою інтегрування, x — змінною інтегрування.

З геометричної точки зору невизначений інтеграл — це сукупність (сім'я) ліній F(x) + C

Для обчислення невизначених інтегралів використовуються методи:

Таблиця основних формул інтегрування
Метод підстановки (або формула заміни змінної)
Метод інтегрування частинами

Для обчислення невизначених інтегралів використовують такі формули:

Властивості невизначеного інтеграла

Ð ÐµÐ·ÑƒÐ»ÑŒÑ‚Ð°Ñ‚ Ð¿Ð¾ÑˆÑƒÐºÑƒ Ð·Ð¾Ð±Ñ€Ð°Ð¶ÐµÐ½ÑŒ Ð·Ð° Ð·Ð°Ð¿Ð¸Ñ‚Ð¾Ð¼ "Ð²Ð»Ð°ÑÑ‚Ð¸Ð²Ð¾ÑÑ‚Ñ– Ð½ÐµÐ²Ð¸Ð·Ð½Ð°Ñ‡ÐµÐ½Ð¾Ð³Ð¾ Ñ–Ð½Ñ‚ÐµÐ³Ñ€Ð°Ð»Ð°"

Слід відмітити, що справедливість формул інтегрування, а також кожен результат знаходження первісних можна перевірити шляхом диференціювання, оскільки інтегрування — це дія, обернена до диференціювання.

Визначений інтеграл

Розглянемо плоску фігуру, обмежену графіком неперервної та невід’ємної на відрізку [a; b] функції f(x), відрізком [a; b], та і прямими x=a та x=b.

Отримана фігура називається криволінійною трапецією. Обчислимо її площу.

Для цього розіб’ємо відрізок [a; b] на n рівних відрізків. Довжини кожного з відрізків дорівнюють Δx.

На кожному відрізку, побудуємо прямокутники з висотами f(x_k-1).

Площа кожного такого прямокутника дорівнює S_k = f(x_k-1)Δx_k.

Площа всіх таких прямокутників дорівнює

Цю суму називають інтегральною сумою для функції f(x).

Якщо n→∞ то площа побудованої таким чином фігури буде все менш відрізнятись від площі криволінійної трапеції.

Границя інтегральної суми коли n→∞ називається визначеним інтегралом, і записується це так :

читається: "інтеграл від a до b f від xdx"

Число а називається нижньою межею інтегрування, b – верхньою межею інтегрування, відрізок [a; b] – проміжок інтегрування.

Властивості визначеного інтегралу

Ð ÐµÐ·ÑƒÐ»ÑŒÑ‚Ð°Ñ‚ Ð¿Ð¾ÑˆÑƒÐºÑƒ Ð·Ð¾Ð±Ñ€Ð°Ð¶ÐµÐ½ÑŒ Ð·Ð° Ð·Ð°Ð¿Ð¸Ñ‚Ð¾Ð¼ "Ð²Ð»Ð°ÑÑ‚Ð¸Ð²Ð¾ÑÑ‚Ñ– Ð²Ð¸Ð·Ð½Ð°Ñ‡ÐµÐ½Ð¾Ð³Ð¾ Ñ–Ð½Ñ‚ÐµÐ³Ñ€Ð°Ð»Ð°"

Формула Ньютона-Лейбніца

Визначений інтеграл тісно пов’язаний із первісною та невизначеним інтегралом формулою Ньютона- Лейбніца:

int{a}{b}{f(x)dx}=delim{}{F(x)}{|} matrix {2}{1}{b a}=F(b)-F(a)

Застосування інтеграла

Інтегральне числення широко використовується при розв’язуванні різноманітних практичних задач. Розглянемо деякі з них.

Обчислення площі криволінійної трапеції

Нехай задано на площині деяку фігуру обмежену лініями x=a, x=b, y=f(x), y=g(x). Тоді її площа буде отримуватись інтегруванням різниці між верхньою та нижньою функцією на даному проміжку

Source: https://formula.kr.ua/pervisna-neviznacheniy-integral/shcho-take-nevyznachenyi-intehral.html

Нижньою границею інтегрування треба брати лівий кінець відрізка, на якому визначається криволінійна трапеція.

Обчислення об’ємів тіл

Нехай задана функція, яка задає площу поперечного перерізу тіла в залежності від деякої змінної S = s(x), x

[a; b]. Тоді об’єм даного тіла можна знайти проінтегрувавши дану функцію у відповідних межах

Якщо нам задане тіло, яке отримане обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції обмеженої деякою функцією f(x), x

[a; b]. То площі поперечних перерізів можна обчислити за відомою формулою S = π f 2(x). Тому формула об’єму такого тіла обертання

$V= pi int{a}{b}{f^2(x)dx}$

Аналогічно для осі Oy, y

[c; d]

$V= pi int{c}{d}{f^2(y)dy}$

При використанні невизначеного інтегралу ми будемо отримувати функцію, а при використанні визначеного – значення певної величини.

Поняття диференціального рівняння

Рівняння, яке містить невідому функцію та її похідні, називається диференціальним рівнянням. Наприклад рівняння yy'+x=0.

Механічний та економічний зміст інтегралу

Відстань, яку пройде тіло що рухається прямолінійно і змінює свою швидкість за законом v = v(t) за проміжок часу (t₀; t₁)можна знайти за формулою

$S= int{t_1}{t_2}{v(t)dt}$

Якщо задана залежність продуктивності праці від часу А(t), тоді визначеним інтегралом від даної функції буде кількість продукції виготовленої за проміжок часу (t₀; t₁)

$S= int{t_1}{t_2}{A(t)dt}$

Приклади

Приклад 1. Знайдіть первісні для функції $f(x) = x + \cos x$ .

Розв’язання

Оскільки для х одна з первісних є $\frac{{{x^2}}}{2}$ , а для cos x однією з первісних є sin x, то однією з первісних функції x+cos x є функція $\frac{{{x^2}}}{2} + \sin x$ , отже $F(x) = \frac{{{x^2}}}{2} + \sin x + C$ .

Приклад 2. Знайдіть $\int {({e^x} + \sin x - \frac{1}{x})dx}$ .

Розв’язання

$\int {({e^x} + \sin x - \frac{1}{x})dx} = \int {{e^x}dx} + \int {\sin xdx} - \int {\frac{1}{x}dx} = {e^x} - \cos x - \ln |x| + C$ .

Приклад 3. Знайдіть первісні для функції $f(x) = 5{e^x} + 7\sin x - 3{x^2}$ .

Розв’язання

Оскільки однією з первісних для функції ${e^x}$ є функція ${e^x}$ , то однією з первісних для функції $5{e^x}$ є $5{e^x}$ ; оскільки однією з первісних для функції sin x є –cos x; первісною $3{x^2}$ є $\frac{{{x^3}}}{3}$ . Отже, $F(x) = 5{e^x} - 7\cos x + {x^3} + C$ – первісні для функції $f(x) = 5{e^x} + 7\sin x - 3{x^2}$ .

Приклад 4. Знайдіть $\int {(1 + 3{e^x} - 4\cos x)dx}$ .

Розв’язання

$\begin{array}{l}\int {(1 + 3{e^x} - 4\cos x)dx} = \int {1dx} + \int {3{e^x}dx} - \int {4\cos xdx} = \int {dx} + 3\int {{e^x}dx} - 4\int {\cos xdx} = \\ = x + 3{e^x} - 4\sin x + C\end{array}$

Приклад 5. Знайдіть значення $\int {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{3x - 1}}}}}$ .

Розв’язання

$\begin{array}{l}\int {\frac{{dx}}{{\sqrt[3]{{3x - 1}}}}} = \int {{{(3x - 1)}^{ - \frac{1}{3}}}} dx = \frac{1}{3} \cdot \frac{{{{(3x - 1)}^{ - \frac{1}{3} + 1}}}}{{ - \frac{1}{3} + 1}} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot {(3x - 1)^{\frac{2}{3}}} + C = \\ = \frac{1}{2}\sqrt[3]{{{{(3x - 1)}^2}}} + C\end{array}$ .

Приклад 6. Для функції f(х) = sіn х знайдіть первісну, графік якоїпроходить через точку

Розв’язання

Загальний вигляд первісних для функції f(х) = sіn х такий F(х) = -соs х + С.

За умовою графік шуканої первісної проходить через точку

Тому підставляємо π/3 замість х, а -1(1/2) замість F(х) у загальний вигляд первісної, матимемо

Отже, шукана первісна F₁(x) = - cos х - 1.

Приклад 7. Обчисліть інтеграл sіn хdх.

Розв’язання

Для функції f(х) = sin х однією з первісних є F(х) = -cos х. Маємо за формулою Ньютона-Лейбніца

Приклад 8. Обчисліть інтеграл

Розв’язання

Спочатку знайдемо первісну для функції f(х) = 2х + 3х² + 1. Використовуючи правила обчислення первісних та таблицю первісних, маємо:

Матимемо

Зауважимо, що при оформленні цього прикладу знаходження первісної можна було не записувати окремо. Тоді оформлення набуде наступного вигляду:

Приклад 9. Обчисліть інтеграл

Розв’язання

Використаємо правило 3 знаходження первісних. Маємо

Приклад 10. Знаходження площі фігури, обмеженої графіком

Приклад 11. Очислити об’єм тіла обертання навколо осі абсцис прямих у=х+4, у=2х+1 на відрізку [0,1].

Розв’язання

Шукане тіло знайдемо як різницю тіл утворених обертанням прямої у=х+4 та обертанням прямої у=2х+1. Маємо:

Приклад 12. Продуктивність праці робітника протягом дня задається функцією z(t) = – 0,00645t² + 0,05t + 0,5 (грош. од./год), де t – час в годинах від початку роботи, 0 ≤ t ≤ 8. Знайти функцію Ǫ = Ǫ(t), яка показує обсяг продукції (у вартісному виразі) та його величину за робочий день.

Розв’язання

Приклад 13. Під дією сили 60 Н пружина розтягується на 0,02м. Яку роботу виконає пружина при видовженні на 0,12 м?

Розв’язання

Застосуємо закон Гука. 0,02к=60, тоді к=3000.

Отже F(x)=3000х

A=1500х²

Приклад 14. Знайти середній час, затрачений на засвоєння одного виробу в період засвоєння від х₁=100 до х₂=121 виробів, вважаючи в формулі t = ах-b, що а=600 хв, b=0,5.

Розв’язання

Використовуючи формулу середнього часу, отримуємо: