Що таке диференціювання

Що таке диференціювання

Процес знаходження похідної функції називається диференціюванням. Зворотним до диференціювання є інтегрування — процес знаходження первісної.

Похідна — основне поняття диференціального числення. Похідною функції f(x) у точці х0 називається границя (якщо вона існує) відношення приросту функції у точці х₀ до приросту аргументу Δх, якщо приріст аргументу прямує до нуля і позначається f'(x₀). Визначається як границя відношення приросту функції до приросту її аргументу коли приріст аргументу прямує до нуля (якщо така границя існує).

ΔfΔx=f(x0+Δx)−f(x0)Δx,

тобто простими словами, похідна характеризує швидкість зміни функції. Функцію, що має скінченну похідну, називають диференційовною.

Диференціювання — це метод обчислення співвідношення приросту залежної змінної y по відношенню до приросту незалежної змінної x. Це співвідношення приростів називається похідною функції y по змінній x. Якщо говорити більш точно, залежність y від x означає, що y функція від x. Ця функціональна залежність часто позначається y = ƒ(x), де ƒ позначає функцію. Якщо x та y дійсні числа, і якщо графік функції y зображено відносно x, похідна дорівнює нахилу дотичної до цього графіка в кожній точці.

Найпростіший випадок коли y — лінійна функція від x, це означає що графік функції y відносно x пряма лінія. В такому випадку, y = ƒ(x) = mx + b, для дійсних чисел m та b, і нахил m визначається так:

 m=Δy/Δx,

 де символ Δ (грецька літера у верхньому регістрі дельта) — це є скорочення для «зміни в». Ця формула справедлива тому, що

 y + Δy = ƒ(x + Δx) = m(x + Δx) + b = mx + b + mΔx = y + mΔx.

З цього випливає, що Δy = mΔx.

Отримали точне значення нахилу прямої лінії. Якщо функція ƒ не лінійна (тобто графік функції не пряма лінія), тоді приріст y поділений на приріст x змінюється: диференціювання це спосіб обчислення точного значення відношення приростів для будь-якого значення x.

Ідея полягає в тому, щоб обчислити відношення приростів як граничну величину Δy / Δx коли Δx стає нескінченно малим.

Формули диференціювання

Знаходження похідної елеменмтарної функції

Знаходження похідної складеної функції

Геометричний та фізичний зміст похідної

Геометричний зміст похідної полягає у наступному: кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x), що приведена у точці цього графіка з абсцисою х₀ дорівнює похідній функції у = f(x) у цій точці, тобто

k = f '(x₀).

Оскільки k = tg α, де α - кут, який утворює дотична з додатнім напрямом осі абсцис, то у випадку f '(x₀) > 0, кут α - гострий, якщо f '(x₀) = 0, то дотична паралельна осі абсцис (або співпадає з нею), а у випадку f '(x₀) < 0, кут α - тупий.

Фізичний зміст похідної полягає у наступному: якщо шлях, пройдений тілом, що рухається прямолінійно, до моменту часу t(t > 0), визначається за формулою х(t), то швидкість руху υ(t) в момент часу і дорівнює похідній цієї функції:

а прискорення a(t) - похідній швидкості υ(t):

Припустимо, що залежність заряду, що протікає через поперечний переріз проводу, від часу описує функція q(t). Потрібно обчислити величину струму I в який-небудь момент часу. Середню величину струму можна обчислити як відношення Δq/Δt.
Миттєва величина струму, це межа цього відношення, якщо зміна часу наближається до нуля, тобто похідна функції q(t):

I=limΔt→0ΔqΔt=q'(t)

Приклади

Приклад 1. Знайти прирощення аргументуΔх і приріст функції Δf в точці x₀, якщо f (х)=х₂, x₀=2

a) x=1,9;

b) x=2,1;

Розв’язання

Скористаємося формулами, наведеними вище:

a) Δх=х-x₀=1,9-2=-0,1;

Δf=f (1,9)-f (2)=1,92-22=-0,39;

b) Δx=x-x₀=2,1-2=0,1;

Приклад 2. Обчислити прирощення Δf для функції f(x)=1 / x у точці x₀, якщо приріст аргументу дорівнює Δх.

Розв’язання

Δf=f (2,1)-f (2)=2,12-22=0,41.

Знову ж, скористаємося формулами, отриманими вище.

Δf=f (x₀ + Δx)-f (x₀)=1 / (x₀-Δx)-1/x₀=(x₀-(x₀ + Δx)) / (x₀ ∙ (x₀ + Δx))=-Δx / ((x₀*(x₀ + Δx)).

Приклад 3. Знайдіть похідну функції

Розв’язання

Спростивши функцію отримаємо

  

Тому

Приклад 4. Нехай необхідно обчислити значення функції  у точці х = 4.

Розв’язання

Природно це роблять наступним чином: спочатку обчислюють значення виразу 2х + 1, якщо х = 4, а саме 2 ∙ 4 + 1 = 9; потім з отриманого числа 9 здобувають арифметичний квадратний корінь, маємо  = 3. Отже, f(9) = 3.

Приклад 5. Знайдіть кут нахилу до осі абсцис дотичної, проведеної до графіка функції f(х) = 2, що проведена в точці А(1; 2).

Розв’язання

Тоді

 a тому

α = π/4

Приклад 6. Знайдіть похідну функції 

Розв’язання

Знайдемо спочатку похідні функції  i 

Тоді 

Тоді

Приклад 7. На графіку функції  знайдіть такі точки, в яких дотична, проведена до графіка функції, паралельна осі абсцис.

Розв’язання

Нехай х₀ - абсциса шуканої точки. Тоді, виходячи з умови f(х₀) = 0, маємо: 
Знаходимо x₀ = 0 або х₀ = -2. Отже, враховуючи,  такими точками є точки (0;0) і (2;-4).
Приклад 8. Задано закон прямолінійного руху  (х - вимірюється у метрах, t - у секундах). Знайдіть швидкість і прискорення в момент часу t = 2 с.

Розв’язання

Source: https://formula.kr.ua/pohidna-ta-yiyi-zastosuvannya/shcho-take-pokhidna-funktsii-ta-dyferentsiiuvannia.html